МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Министерство образования Свердловской области
Администрация муниципального округа Верхний Тагил
МАОУ СОШ № 4

РАССМОТРЕНА

УТВЕРЖДЕНА

на заседании ШМО

директор МАОУ СОШ №4

__________________________
Самофеева Ю.В.

Нехай Елена Александровна
Приказ №81-А

Протокол №1

от «27» августа 2026 г.

от «27» августа 2026 г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
(ID 11974187)
учебного предмета «Вероятность и статистика. Углубленный уровень»
для обучающихся 11 класса

муниципальный округ Верхний Тагил 2026 год

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Учебный курс «Вероятность и статистика» углублённого уровня является
продолжением и развитием одноименного учебного курса углублённого
уровня на уровне среднего общего образования. Учебный курс предназначен
для формирования у обучающихся статистической культуры и понимания
роли теории вероятностей как математического инструмента для изучения
случайных событий, величин и процессов. При изучении курса обогащаются
представления обучающихся о методах исследования изменчивого мира,
развивается понимание значимости и общности математических методов
познания как неотъемлемой части современного естественно-научного
мировоззрения.
Содержание учебного курса направлено на закрепление знаний,
полученных при изучении курса на уровне основного общего образования, и
на развитие представлений о случайных величинах и взаимосвязях между
ними на важных примерах, сюжеты которых почерпнуты из окружающего
мира. В результате у обучающихся должно сформироваться представление о
наиболее употребительных и общих математических моделях, используемых
для описания антропометрических и демографических величин, погрешностей
в различные рода измерениях, длительности безотказной работы технических
устройств, характеристик массовых явлений и процессов в обществе. Учебный
курс является базой для освоения вероятностно-статистических методов,
необходимых специалистам не только инженерных специальностей, но также
социальных и психологических, поскольку современные общественные науки
в значительной мере используют аппарат анализа больших данных.
Центральную часть учебного курса занимает обсуждение закона больших
чисел – фундаментального закона природы, имеющего математическую
формализацию.
В соответствии с указанными целями в структуре учебного курса
«Вероятность и статистика» на углублённом уровне выделены основные
содержательные линии: «Случайные события и вероятности» и «Случайные
величины и закон больших чисел».
Помимо основных линий в учебный курс включены элементы теории
графов и теории множеств, необходимые для полноценного освоения
материала данного учебного курса и смежных математических учебных
курсов.
Содержание линии «Случайные события и вероятности» служит основой
для формирования представлений о распределении вероятностей между
значениями случайных величин. Важную часть в этой содержательной линии
занимает изучение геометрического и биномиального распределений и

знакомство с их непрерывными аналогами – показательным и нормальным
распределениями.
Темы, связанные с непрерывными случайными величинами и
распределениями, акцентируют внимание обучающихся на описании и
изучении случайных явлений с помощью непрерывных функций. Основное
внимание уделяется показательному и нормальному распределениям.
В учебном курсе предусматривается ознакомительное изучение связи
между случайными величинами и описание этой связи с помощью
коэффициента корреляции и его выборочного аналога. Эти элементы
содержания развивают тему «Диаграммы рассеивания», изученную на уровне
основного общего образования, и во многом опираются на сведения из курсов
алгебры и геометрии.
Ещё один элемент содержания, который предлагается на
ознакомительном уровне – последовательность случайных независимых
событий, наступающих в единицу времени. Ознакомление с распределением
вероятностей количества таких событий носит развивающий характер и
является актуальным для будущих абитуриентов, поступающих на учебные
специальности, связанные с общественными науками, психологией и
управлением.
На изучение учебного курса «Вероятность и статистика» на углубленном
уровне отводится 68 часов: в 10 классе – 34 часа (1 час в неделю), в 11 классе
– 34 часа (1 час в неделю).

СОДЕРЖАНИЕ ОБУЧЕНИЯ
11 КЛАСС
Неравенство Чебышёва. Теорема Чебышёва. Теорема Бернулли. Закон
больших чисел. Выборочный метод исследований. Выборочные
характеристики. Оценивание вероятности события по выборочным данным.
Проверка простейших гипотез с помощью изученных распределений.
Непрерывные случайные величины. Примеры. Функция плотности
вероятности распределения. Равномерное распределение и его свойства.
Задачи, приводящие к показательному распределению. Задачи, приводящие к
нормальному
распределению.
Функция
плотности
вероятности
показательного распределения, функция плотности вероятности нормального
распределения. Функция плотности и свойства нормального распределения.
Последовательность одиночных независимых событий. Задачи,
приводящие к распределению Пуассона.
Ковариация двух случайных величин. Коэффициент линейной
корреляции. Совместные наблюдения двух величин. Выборочный
коэффициент корреляции. Различие между линейной связью и причинноследственной связью. Линейная регрессия, метод наименьших квадратов.

ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ УЧЕБНОГО КУРСА
«ВЕРОЯТНОСТЬ И СТАТИСТИКА» (УГЛУБЛЕННЫЙ УРОВЕНЬ) НА
УРОВНЕ СРЕДНЕГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
ЛИЧНОСТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
1) гражданского воспитания:
сформированность гражданской позиции обучающегося как активного и
ответственного члена российского общества, представление о математических
основах функционирования различных структур, явлений, процедур
гражданского
общества
(выборы,
опросы
и
другое),
умение
взаимодействовать с социальными институтами в соответствии с их
функциями и назначением;
2) патриотического воспитания:
сформированность российской гражданской идентичности, уважения к
прошлому и настоящему российской математики, ценностное отношение к
достижениям российских математиков и российской математической школы,
использование этих достижений в других науках, технологиях, сферах
экономики;
3) духовно-нравственного воспитания:
осознание духовных ценностей российского народа, сформированность
нравственного сознания, этического поведения, связанного с практическим
применением достижений науки и деятельностью учёного, осознание личного
вклада в построение устойчивого будущего;
4) эстетического воспитания:
эстетическое отношение к миру, включая эстетику математических
закономерностей, объектов, задач, решений, рассуждений, восприимчивость к
математическим аспектам различных видов искусства;
5) физического воспитания:
сформированность умения применять математические знания в
интересах здорового и безопасного образа жизни, ответственное отношение к
своему здоровью (здоровое питание, сбалансированный режим занятий и
отдыха, регулярная физическая активность), физическое совершенствование
при занятиях спортивно-оздоровительной деятельностью;
6) трудового воспитания:
готовность к труду, осознание ценности трудолюбия, интерес к
различным сферам профессиональной деятельности, связанным с
математикой и её приложениями, умение совершать осознанный выбор
будущей профессии и реализовывать собственные жизненные планы,
готовность и способность к математическому образованию и

самообразованию на протяжении всей жизни, готовность к активному
участию в решении практических задач математической направленности;
7) экологического воспитания:
сформированность экологической культуры, понимание влияния
социально-экономических процессов на состояние природной и социальной
среды, осознание глобального характера экологических проблем, ориентация
на применение математических знаний для решения задач в области
окружающей среды, планирование поступков и оценки их возможных
последствий для окружающей среды;
8) ценности научного познания:
сформированность мировоззрения, соответствующего современному
уровню развития науки и общественной практики, понимание математической
науки как сферы человеческой деятельности, этапов её развития и значимости
для развития цивилизации, овладение языком математики и математической
культурой как средством познания мира, готовность осуществлять проектную
и исследовательскую деятельность индивидуально и в группе.
МЕТАПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Познавательные универсальные учебные действия
Базовые логические действия:
выявлять и характеризовать существенные признаки математических
объектов, понятий, отношений между понятиями, формулировать
определения понятий, устанавливать существенный признак классификации,
основания для обобщения и сравнения, критерии проводимого анализа;
воспринимать,
формулировать
и
преобразовывать
суждения:
утвердительные и отрицательные, единичные, частные и общие, условные;
выявлять математические закономерности, взаимосвязи и противоречия
в фактах, данных, наблюдениях и утверждениях, предлагать критерии для
выявления закономерностей и противоречий;
делать выводы с использованием законов логики, дедуктивных и
индуктивных умозаключений, умозаключений по аналогии;
проводить самостоятельно доказательства математических утверждений
(прямые и от противного), выстраивать аргументацию, приводить примеры и
контрпримеры, обосновывать собственные суждения и выводы;
выбирать способ решения учебной задачи (сравнивать несколько
вариантов решения, выбирать наиболее подходящий с учётом самостоятельно
выделенных критериев).
Базовые исследовательские действия:

использовать вопросы как исследовательский инструмент познания,
формулировать
вопросы,
фиксирующие
противоречие,
проблему,
устанавливать искомое и данное, формировать гипотезу, аргументировать
свою позицию, мнение;
проводить самостоятельно спланированный эксперимент, исследование
по установлению особенностей математического объекта, явления, процесса,
выявлению зависимостей между объектами, явлениями, процессами;
самостоятельно формулировать обобщения и выводы по результатам
проведённого наблюдения, исследования, оценивать достоверность
полученных результатов, выводов и обобщений;
прогнозировать возможное развитие процесса, а также выдвигать
предположения о его развитии в новых условиях.
Работа с информацией:
выявлять дефициты информации, данных, необходимых для ответа на
вопрос и для решения задачи;
выбирать информацию из источников различных типов, анализировать,
систематизировать и интерпретировать информацию различных видов и форм
представления;
структурировать информацию, представлять её в различных формах,
иллюстрировать графически;
оценивать
надёжность
информации
по
самостоятельно
сформулированным критериям.
Коммуникативные универсальные учебные действия
Общение:
воспринимать и формулировать суждения в соответствии с условиями и
целями общения, ясно, точно, грамотно выражать свою точку зрения в устных
и письменных текстах, давать пояснения по ходу решения задачи,
комментировать полученный результат;
в ходе обсуждения задавать вопросы по существу обсуждаемой темы,
проблемы, решаемой задачи, высказывать идеи, нацеленные на поиск
решения, сопоставлять свои суждения с суждениями других участников
диалога, обнаруживать различие и сходство позиций, в корректной форме
формулировать разногласия, свои возражения;
представлять результаты решения задачи, эксперимента, исследования,
проекта, самостоятельно выбирать формат выступления с учётом задач
презентации и особенностей аудитории.
Регулятивные универсальные учебные действия
Самоорганизация:

составлять план, алгоритм решения задачи, выбирать способ решения с
учётом имеющихся ресурсов и собственных возможностей, аргументировать
и корректировать варианты решений с учётом новой информации.
Самоконтроль, эмоциональный интеллект:
владеть навыками познавательной рефлексии как осознания
совершаемых действий и мыслительных процессов, их результатов, владеть
способами самопроверки, самоконтроля процесса и результата решения
математической задачи;
предвидеть трудности, которые могут возникнуть при решении задачи,
вносить коррективы в деятельность на основе новых обстоятельств, данных,
найденных ошибок, выявленных трудностей;
оценивать соответствие результата цели и условиям, объяснять причины
достижения или недостижения результатов деятельности, находить ошибку,
давать оценку приобретённому опыту.
Совместная деятельность:
понимать и использовать преимущества командной и индивидуальной
работы при решении учебных задач, принимать цель совместной
деятельности, планировать организацию совместной работы, распределять
виды работ, договариваться, обсуждать процесс и результат работы, обобщать
мнения нескольких людей;
участвовать в групповых формах работы (обсуждения, обмен мнений,
«мозговые штурмы» и иные), выполнять свою часть работы и координировать
свои действия с другими членами команды, оценивать качество своего вклада
в общий продукт по критериям, сформулированным участниками
взаимодействия.
ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
К концу 11 класса обучающийся научится:
вычислять выборочные характеристики по данной выборке и оценивать
характеристики генеральной совокупности данных по выборочным
характеристикам. Оценивать вероятности событий и проверять простейшие
статистические гипотезы, пользуясь изученными распределениями;
приводить
примеры
задач,
приводящих
к
показательному
распределению, задач, приводящих к нормальному распределению.
Оперировать понятиями: функция плотности вероятности показательного
распределения, функция плотности вероятности нормального распределения,
функция плотности и свойства нормального распределения;
определять коэффициент линейной корреляции, выборочный
коэффициент корреляции.

ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
11 КЛАСС
№
Наименование
п
разделов и тем
/
программы
п

Количество часов
Всего

Контрольн
ые работы

Практически
е работы

Электронные
(цифровые)
образовательные
ресурсы

1

Закон больших чисел

5

1

https://m.edsoo.ru/K0Y1B
6R3O

2

Элементы
математической
статистики

6

1

https://m.edsoo.ru/H5L8H
5R6R

3

Непрерывные
случайные величины
(распределения),
показательное и
нормальное
распределения

4

1

https://m.edsoo.ru/L6M9H
3L9E

4

Распределение
Пуассона

2

5

Связь между
случайными
величинами

6

6

Обобщение и
систематизация знаний

11

1

34

2

ОБЩЕЕ КОЛИЧЕСТВО
ЧАСОВ ПО ПРОГРАММЕ

https://m.edsoo.ru/X7U8Z
3H9P

1

1

https://m.edsoo.ru/L2S3Z3
Y8R
https://m.edsoo.ru/O1V9B
5L1Z

4

11 КЛАСС
№
п/п

Количество часов
Тема урока

Всего

Контрольные
работы

Практические
работы

Дата
изучения

Электронные цифровые
образовательные ресурсы

1

Неравенство Чебышева.
Теорема Чебышева. Теорема
Бернулли. Закон больших чисел

1

07.09.2026

https://m.edsoo.ru/V2X1D2T9F

2

Неравенство Чебышева.
Теорема Чебышева. Теорема
Бернулли. Закон больших чисел

1

14.09.2026

https://m.edsoo.ru/X1Z1P0O1D

3

Неравенство Чебышева.
Теорема Чебышева. Теорема
Бернулли. Закон больших чисел

1

21.09.2026

https://m.edsoo.ru/T5S8P0R4E

4

Выборочный метод
исследований

1

28.09.2026

https://m.edsoo.ru/N7R2W1T9F

5

Практическая работа с
использованием электронных
таблиц

1

05.10.2026

https://m.edsoo.ru/K4B7U4E2V

6

Генеральная совокупность и
случайная выборка. Знакомство
с выборочными
характеристиками. Оценка
среднего и дисперсии
генеральной совокупности с
помощью выборочных
характеристик

1

12.10.2026

https://m.edsoo.ru/L6F3S9X6Y

1

7

Генеральная совокупность и
случайная выборка. Знакомство
с выборочными
характеристиками. Оценка
среднего и дисперсии
генеральной совокупности с
помощью выборочных
характеристик

1

19.10.2026

https://m.edsoo.ru/P2E4J5J5I

8

Оценивание вероятностей
событий по выборке

1

09.11.2026

https://m.edsoo.ru/H4R4D5R7C

1

16.11.2026

https://m.edsoo.ru/G2E5V2M1J

23.11.2026

https://m.edsoo.ru/H6Y9U1D2O

30.11.2026

https://m.edsoo.ru/R8L4I2U5X

9

10
11

Статистическая гипотеза.
Проверка простейших
гипотез с помощью свойств
изученных распределений
Контрольная работа
Практическая работа с
использованием
электронных таблиц

1
1

1

1

12

Примеры непрерывных
случайных величин. Функция
плотности вероятности

1

07.12.2026

https://m.edsoo.ru/L9M2F6S7V

13

Равномерное распределение.
Примеры задач, приводящих к
показательному и к
нормальному распределениям

1

14.12.2026

https://m.edsoo.ru/D0T9T5N9J

14

Функция плотности
вероятности показательного
распределения

1

21.12.2026

https://m.edsoo.ru/X9C3M2F6U

15

Функция плотности
вероятности нормального
распределения

1

28.12.2026

https://m.edsoo.ru/J0I4P3Z3F

16

Последоват,ельность
одиночных независимых
событий. Пример задачи,
приводящей к распределению
Пуассона

1

11.01.2027

https://m.edsoo.ru/O6M7Q2S2Y

17

Практическая работа с
использованием электронных
таблиц

1

18.01.2027

https://m.edsoo.ru/W3C9N9L8W

18

Ковариация двух случайных
величин. Коэффициент
корреляции

1

25.01.2027

https://m.edsoo.ru/Q3W3K7F9T

19

Совместные наблюдения двух
величин

1

01.02.2027

https://m.edsoo.ru/A7F7M6B2H

20

Выборочный коэффициент
корреляции

1

08.02.2027

https://m.edsoo.ru/J2S8R8P0I

21

Различие между линейной
связью и причинноследственной связью

1

15.02.2027

https://m.edsoo.ru/B1D2Y7J0H

22

Линейная регрессия

1

20.02.2027

https://m.edsoo.ru/I3M5T9R3G

23

Практическая работа с
использованием электронных
таблиц

1

01.03.2027

https://m.edsoo.ru/V6J4X4E7Z

1

1

24

Представление данных с
помощью таблиц и диаграмм,
описательная статистика

1

15.03.2027

https://m.edsoo.ru/G6Q0B2A4J

25

Опыты с равновозможными
элементарными событиями

1

22.03.2027

https://m.edsoo.ru/X9Z3D0X3E

26

Вычисление вероятностей
событий с применением формул

1

05.04.2027

https://m.edsoo.ru/B1U9V9Q3X

27

Контрольная работа:
"Вероятность и статистика"

1

12.04.2027

https://m.edsoo.ru/B8E0T6R2S

28

Случайные величины и
распределения

1

19.04.2027

https://m.edsoo.ru/J2H9H7Y5Q

29
30

Математическое ожидание
случайной величины

2

26.04.2027

https://m.edsoo.ru/G9Y6S0M4D

31
32

Математическое ожидание
случайной величины

2

17.05.2027

https://m.edsoo.ru/E9B6C2I0Z

33
34

Математическое ожидание
случайной величины

2

24.05.2027

https://m.edsoo.ru/S1Q7E6P9H

ОБЩЕЕ КОЛИЧЕСТВО ЧАСОВ ПО
ПРОГРАММЕ

34

1

2

4

ПРОВЕРЯЕМЫЕ ТРЕБОВАНИЯ К РЕЗУЛЬТАТАМ ОСВОЕНИЯ
ОСНОВНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ
11 КЛАСС
Код
проверяемого
результата
5

Проверяемые предметные результаты освоения основной
образовательной программы среднего общего образования
Теория вероятностей и статистика

5.1

Сравнивать
вероятности
значений
распределению или с помощью диаграмм

случайной

величиныпо

5.2

Оперировать понятием математического ожидания, приводить примеры
того, как применяется математическое ожидание случайной величины,
находить математическое ожидание по данному распределению

5.3

Иметь представление о законе больших чисел

5.4

Иметь представление о нормальном распределении

ПРОВЕРЯЕМЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ СОДЕРЖАНИЯ

11 КЛАСС
Код
5

Проверяемый элемент содержания
Теория вероятностей и статистика

5.1

Числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание,
дисперсия и стандартное отклонение. Примеры применения математического
ожидания, в том числе в задачах из повседневной жизни. Математическое
ожидание бинарной случайной величины. Математическое ожидание суммы
случайных величин. Математическое ожидание и дисперсия геометрического и
биномиального распределений

5.2

Закон больших чисел и его роль в науке, природе и обществе. Выборочный метод
исследований

5.3

Примеры непрерывных случайных величин. Понятие о плотности
распределения. Задачи, приводящие к нормальному распределению. Понятие о
нормальном распределении

ПРОВЕРЯЕМЫЕ НА ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ТРЕБОВАНИЯ К
РЕЗУЛЬТАТАМ ОСВОЕНИЯ ОСНОВНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ
ПРОГРАММЫ СРЕДНЕГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

Код
проверяемого
требования

Проверяемые требования к предметным результатам освоения
основной образовательной программы среднего общего
образования
Владение методами доказательств, алгоритмами решения задач;
умение формулировать и оперировать понятиями: определение,
аксиома, теорема, следствие, свойство, признак, доказательство,
равносильные формулировки; применять их; умение формулировать
обратное и противоположное утверждение, приводить примеры и
контрпримеры,

использовать

метод

математической

индукции;

проводить доказательные рассуждения при решении задач, оценивать
1

логическую

правильность

рассуждений;

умение

оперировать

понятиями: множество, подмножество, операции над множествами;
умение использовать теоретико-множественный аппарат для описания
реальных процессов и явлений и при решении задач, в том числе из
других учебных предметов; умение оперировать понятиями: граф,
связный граф, дерево, цикл, граф на плоскости; умение задавать и
описывать графы различными способами; использовать графы при
решении задач
Умение оперировать понятиями: натуральное число, целое число,
степень с целым показателем, корень натуральной степени, степень с
рациональным показателем, степень с действительным показателем,
логарифм числа, синус, косинус и тангенс произвольного числа,
остаток по модулю, рациональное число, иррациональное число,
множества натуральных, целых, рациональных, действительных чисел;
2

умение использовать признаки делимости, наименьший общий
делитель и наименьшее общее кратное, алгоритм Евклида при решении
задач; знакомство с различными позиционными системами счисления;
умение выполнять вычисление значений и преобразования выражений
со степенями и логарифмами, преобразования дробно-рациональных
выражений; умение оперировать понятиями: последовательность,
арифметическая прогрессия, геометрическая прогрессия, бесконечно

убывающая

геометрическая

прогрессия;

умение

задавать

последовательности, в том числе с помощью рекуррентных формул;
умение оперировать понятиями: комплексное число, сопряжённые
комплексные числа, модуль и аргумент комплексного числа, форма
записи комплексных чисел (геометрическая, тригонометрическая и
алгебраическая); уметь производить арифметические действия с
комплексными

числами;

приводить

примеры

использования

комплексных чисел; оперировать понятиями: матрица 2×2 и 3×3,
определитель матрицы, геометрический смысл определителя
Умение оперировать понятиями: рациональные, иррациональные,
показательные, степенные, логарифмические, тригонометрические
уравнения и неравенства, их системы; умение оперировать понятиями:
тождество, тождественное преобразование, уравнение, неравенство,
3

система

уравнений

и

неравенств,

равносильность

уравнений,

неравенств и систем; умение решать уравнения, неравенства и системы
с помощью различных приёмов; решать уравнения, неравенства и
системы с параметром; применять уравнения, неравенства, их системы
для решения математических задач и задач из различных областей
науки и реальной жизни
Умение оперировать понятиями: функция, чётность

функции,

периодичность функции, ограниченность функции, монотонность
функции, экстремум функции, наибольшее и наименьшее значения
функции на промежутке, непрерывная функция, асимптоты графика
функции, первая и вторая производная функции, геометрический и
физический

смысл

производной,

первообразная,

определённый

интеграл; умение находить асимптоты графика функции; умение
4

вычислять производные суммы, произведения, частного и композиции
функций, находить уравнение касательной к графику функции; умение
находить производные элементарных функций; умение использовать
производную для исследования функций, находить наибольшие и
наименьшие значения функций; строить графики многочленов с
использованием

аппарата

математического

анализа;

применять

производную для нахождения наилучшего решения в прикладных, в
том числе социально-экономических и физических задачах; находить
площади и объёмы фигур с помощью интеграла; приводить примеры

математического моделирования с помощью дифференциальных
уравнений
Умение оперировать понятиями: график функции, обратная функция,
композиция функций, линейная функция, квадратичная функция,
рациональная функция, степенная функция, тригонометрические
функции, обратные тригонометрические функции, показательная и
логарифмическая функции; умение строить графики изученных
5

функций, выполнять преобразования графиков функций, использовать
графики для изучения процессов и зависимостей, при решении задач
из других учебных предметов и задач из реальной жизни; выражать
формулами зависимости между величинами; использовать свойства и
графики функций для решения уравнений, неравенств и задач с
параметрами; изображать на координатной плоскости множества
решений уравнений, неравенств и их систем
Умение решать текстовые задачи разных типов (в том числе на
проценты, доли и части, на движение, работу, стоимость товаров и
услуг, налоги, задачи из области управления личными и семейными
финансами); составлять выражения, уравнения, неравенства и их

6

системы по условию задачи, исследовать полученное решение и
оценивать правдоподобность результатов; умение моделировать
реальные ситуации на языке математики; составлять выражения,
уравнения, неравенства и их системы по условию задачи, исследовать
построенные

модели

с

использованием

аппарата

алгебры,

интерпретировать полученный результат
Умение оперировать понятиями: среднее арифметическое, медиана,
наибольшее и наименьшее значения, размах, дисперсия, стандартное
отклонение числового набора; умение извлекать, интерпретировать
информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках,
7

отражающую свойства реальных процессов и явлений; представлять
информацию

с

помощью

таблиц

и

диаграмм;

исследовать

статистические данные, в том числе с применением графических
методов и электронных средств; графически исследовать совместные
наблюдения с помощью диаграмм рассеивания и линейной регрессии
8

Умение оперировать понятиями: случайный опыт и случайное
событие, вероятность случайного события;

умение вычислять

вероятность с использованием графических методов; применять
формулы сложения и умножения вероятностей, формулу полной
вероятности, формулу Бернулли, комбинаторные факты и формулы;
оценивать вероятности реальных событий; умение оперировать
понятиями:

случайная

величина,

распределение

вероятностей,

математическое ожидание, дисперсия и стандартное отклонение
случайной

величины,

функции

распределения

и

плотности

равномерного, показательного и нормального распределений; умение
использовать свойства изученных распределений для решения задач;
знакомство с понятиями: закон больших чисел, методы выборочных
исследований; умение приводить примеры проявления закона больших
чисел в природных и общественных явлениях; умение оперировать
понятиями:

сочетание,

перестановка,

число

сочетаний,

число

перестановок; бином Ньютона; умение применять комбинаторные
факты и рассуждения для решения задач; оценивать вероятности
реальных

событий;

составлять

вероятностную

модель

и

интерпретировать полученный результат
Умение

оперировать

понятиями:

точка,

прямая,

плоскость,

пространство, отрезок, луч, величина угла, плоский угол, двугранный
угол, трёхгранный угол, скрещивающиеся прямые, параллельность и
перпендикулярность прямых и плоскостей, угол между прямыми, угол
между прямой и плоскостью, угол между плоскостями, расстояние от
9

точки до плоскости, расстояние между прямыми, расстояние между
плоскостями; умение использовать при решении задач изученные
факты и теоремы планиметрии; умение оценивать размеры объектов
окружающего мира; строить математические модели с помощью
геометрических понятий и величин, решать связанные с ними
практические задачи
Умение оперировать понятиями: площадь фигуры, объём фигуры,
многогранник, правильный многогранник, сечение многогранника,
куб, параллелепипед, призма, пирамида, фигура и поверхность

10

вращения, цилиндр, конус, шар, сфера, площадь сферы, площадь
поверхности пирамиды, призмы, конуса, цилиндра, объём куба,
прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы, цилиндра,
конуса, шара, развёртка поверхности, сечения конуса и цилиндра,
параллельные оси или основанию, сечение шара, плоскость,

касающаяся сферы, цилиндра, конуса; умение строить сечение
многогранника, изображать многогранники, фигуры и поверхности
вращения, их сечения, в том числе с помощью электронных средств;
умение применять свойства геометрических фигур, самостоятельно
формулировать определения изучаемых фигур, выдвигать гипотезы о
свойствах и признаках геометрических фигур, обосновывать или
опровергать их; умение проводить классификацию фигур по
различным признакам, выполнять необходимые дополнительные
построения
Умение

оперировать

понятиями:

движение

в

пространстве,

параллельный перенос, симметрия на плоскости и в пространстве,
поворот,

преобразование

подобия,

подобные

фигуры;

умение

распознавать равные и подобные фигуры, в том числе в природе,
искусстве, архитектуре; использовать геометрические отношения при
решении задач; находить геометрические величины (длина, угол,
11

площадь, объём) при решении задач из других учебных предметов и из
реальной жизни; умение вычислять геометрические величины (длина,
угол, площадь, объём, площадь поверхности), используя изученные
формулы и методы, в том числе: площадь поверхности пирамиды,
призмы, конуса, цилиндра, площадь сферы; объём куба, прямоугольного
параллелепипеда, пирамиды, призмы, цилиндра, конуса, шара; умение
находить отношение объёмов подобных фигур
Умение оперировать понятиями: прямоугольная система координат,
вектор, координаты точки, координаты вектора, сумма векторов,

12

произведение вектора на число, разложение вектора по базису,
скалярное произведение, векторное произведение, угол между
векторами; умение использовать векторный и координатный метод для
решения геометрических задач и задач других учебных предметов
Умение выбирать подходящий метод для решения задачи; понимание
значимости математики в изучении природных и общественных

13

процессов и явлений; умение распознавать проявление законов
математики в искусстве, умение приводить примеры математических
открытий российской и мировой математической науки

ПЕРЕЧЕНЬ ЭЛЕМЕНТОВ СОДЕРЖАНИЯ, ПРОВЕРЯЕМЫХ НА ЕГЭ
ПО МАТЕМАТИКЕ

Код
1
1.1
1.2

Проверяемый элемент содержания
Числа и вычисления
Натуральные и целые числа. Признаки делимости целых чисел
Рациональные числа. Обыкновенные и десятичные дроби, проценты,
бесконечные периодические дроби

1.3

Арифметический корень натуральной степени. Действия с арифметическими
корнями натуральной степени

1.4

Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства
степени

1.5

Синус, косинус и тангенс числового аргумента. Арксинус, арккосинус,
арктангенс числового аргумента

1.6

Логарифм числа. Десятичные и натуральные логарифмы

1.7

Действительные числа. Арифметические операции с действительными
числами. Приближённые вычисления, правила округления, прикидка и оценка
результата вычислений

1.8

Преобразование выражений

1.9

Комплексные числа

2

Уравнения и неравенства

2.1

Целые и дробно-рациональные уравнения

2.2

Иррациональные уравнения

2.3

Тригонометрические уравнения

2.4

Показательные и логарифмические уравнения

2.5

Целые и дробно-рациональные неравенства

2.6

Иррациональные неравенства

2.7

Показательные и логарифмические неравенства

2.8

Тригонометрические неравенства

2.9

Системы и совокупности уравнений и неравенств

2.10

Уравнения, неравенства и системы с параметрами

2.11

Матрица системы линейных уравнений. Определитель матрицы

3

Функции и графики

3.1

Функция, способы задания функции. График функции. Взаимно обратные
функции. Чётные и нечётные функции. Периодические функции

3.2

Область определения и множество значений функции. Нули функции.
Промежутки знакопостоянства. Промежутки монотонности функции.
Максимумы и минимумы функции. Наибольшее и наименьшее значение
функции на промежутке

3.3

Степенная функция с натуральным и целым показателем. Её свойства и график.
Свойства и график корня n-ой степени

3.4

Тригонометрические функции, их свойства и графики

3.5

Показательная и логарифмическая функции, их свойства и графики

3.6

Точки разрыва. Асимптоты
непрерывных на отрезке

3.7

Последовательности, способы задания последовательностей

3.8

Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула сложных процентов

4

графиков

функций.

Свойства

функций,

Начала математического анализа

4.1

Производная функции. Производные элементарных функций

4.2

Применение производной к исследованию функций на монотонность и
экстремумы. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на
отрезке

4.3

Первообразная. Интеграл

5

Множества и логика

5.1

Множество, операции над множествами. Диаграммы Эйлера – Венна

5.2

Логика

6

Вероятность и статистика

6.1

Описательная статистика

6.2

Вероятность

6.3

Комбинаторика

7

Геометрия

7.1

Фигуры на плоскости

7.2

Прямые и плоскости в пространстве

7.3

Многогранники

7.4

Тела и поверхности вращения

7.5

Координаты и векторы

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО ПРОЦЕССА
ОБЯЗАТЕЛЬНЫЕ УЧЕБНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ УЧЕНИКА

МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ
1)
кл.",

"Математика. Универсальный многоуровневый сборник задач 7-9
Просвещение.

2020-2022.

ISBN:978-5-09-075041-7.

Авторы:

Высоцкий И.Р., И.В.Ященко.
2)

Ю.Н.Тюрин, А.А.Макаров, И.Р.Высоцкий, И.В.Ященко. Учебное

пособие "Теория вероятностей и статистика". МЦНМО. 2008 год.
3)

Ю.Н.Тюрин,

А.А.Макаров,

И.Р.Высоцкий,

И.В.Ященко.

Экспериментальное учебное пособие для 10-11 кл. "Теория вероятностей
и статистика". МЦНМО. 2014 год.
ЦИФРОВЫЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ РЕСУРСЫ И РЕСУРСЫ
СЕТИ ИНТЕРНЕТ

1) https://m.edsoo.ru/863ec324
2) https://ptlab.mccme.ru/vertical